Question

已知f（x+1）=f（x-1），f（x）=f（-x+2），方程f（x）=0在[0，1]内有且只有一个根，则f（x）=0在区间[-1005，1006]内根的个数为（ ）
A．2013
B．1006
C．2011
D．1007

Answer

由条件推出f（1-x）=f（1+x），进而推出f（x）为偶函数，且f（x）是周期等于2的周期函数，根据f（）=0求出f（）=0，从而得到函数f（x）在一个周期[0，2]上有2个零点，且函数f（x）在每两个整数之间都有一个零点，从而得到f（x）=0在区间[-1005，1006]内根的个数．
【解析】
∵f（x）=f（-x+2），∴f（x）的图象关于直线x=1对称，即f（1-x）=f（1+x）．
又f（x+1）=f（x-1），∴f（x-1）=f（1-x），即f（x）=f（-x），故函数f（x）为偶函数．
再由f（x+1）=f（x-1），令x+1=t，则有f（t）=f（t+2），
从而可得f（x+2）=f（x），故函数f（x）是周期等于2的周期函数．
由于f（）=0，∴f（-）=0，
∴f（）=f（2-）=f（）=0，
故函数f（x）在一个周期[0，2]上有2个零点，且函数f（x）在每两个整数之间都有一个零点，
f（x）=0在区间[-1005，1006]内根的个数为2011，
故选C．