Question

在如图所示的多面体中，已知正方形ABCD和直角梯形ACEF所在的平面互相垂直，BC⊥AC，EF∥AC，AB=，EF=EC=1．
（1）求证：AF∥平面BDE；
（2）求证：DF⊥平面BEF；
（3）求二面角A-BF-E的余弦值．

Answer

（1）利用线面平行的判定，证明AF∥EO即可；
（2）利用线面垂直的判定，证明BF⊥EF，BF⊥DF，即可证得BF⊥平面DEF；
（3）取BF中点M，BE中点N，连接AM、MN、AN，则∠AMN就是二面角A-BF-E的平面角，由此可求二面角A--BF--E的余弦值．
（1）证明：设AC与BD交与点O．
∵EF∥AO，且EF=1，AO=AC=1．
∴四边形AOEF为平行四边形，
∴AF∥EO，
∵EO⊂面BDE，AF⊄面BDE，∴AF∥面BDE．…（3分）
（2）证明：∵正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面相互垂直，且CE⊥AC，∴CE⊥面ABCD，
连接FO，∵正方形ABCD的边长为，∴AC=BD=2；
直角梯形ACEF中，FO∥EC，且FO=1，DF=BF=，DE=BE=，则BF⊥EF，
由BF=DF=，BD=2可知BF⊥DF，
∵EF∩DF=F
∴BF⊥平面DEF；…（7分）
（3）【解析】
取BF中点M，BE中点N，连接AM、MN、AN，
∵AB=BF=AF=，∴AM⊥BF，
又∵MN∥EF，EF⊥BF，∴MN⊥BF，
∴∠AMN就是二面角A-BF-E的平面角．
AM=AB=，MN=EF=；
在Rt△APN中，可得AN2=AP2+NP2=，
∴在△AMN中，可得cos∠AMN==-，…（12分）