Question

已知函数g（x）=ax²-2ax+1+b（a＞0）在区间[2，3]上的最大值为4，最小值为1，记f（x）=g（|x|）
（Ⅰ）求实数a，b的值；
（Ⅱ）若不等式f（log₂k）＞f（2）成立，求实数k的取值范围；
（Ⅲ）定义在[p，q]上的一个函数m（x），用分法T：p=x＜x₁＜…＜x_i＜…＜x_n=q将区间[p，q]任意划分成n个小区间，如果存在一个常数M＞0，使得和式恒成立，则称函数m（x）为在[p，q]上的有界变差函数，试判断函数f（x）是否为在[1，3]上的有界变差函数？若是，求M的最小值；若不是，请说明理由．（参考公式：…+f（x_n））

Answer

（I）由已知中g（x）在区间[2，3]的最大值为4，最小值为1，结合函数的单调性及最值，我们易构造出关于a，b的方程组，解得a，b的值；
（Ⅱ）由（1）参数a，b的值，代入可得函数解析式，根据二次函数的图象和性质，可将问题转化为距离Y轴距离远的问题，进而构造关于k的方程求出K值．
（III）根据有界变差函数的定义，我们先将区间[1，3]进行划分，进而判断是否恒成立，进而得到结论．
【解析】
（Ⅰ）∵函数g（x）=ax2-2ax+1+b，因为a＞0，
所以g（x）在区间[2，3]上是增函数，
又∵函数g（x）故在区间[2，3]上的最大值为4，最小值为1，
，
解得；…（5分）
（Ⅱ）由已知可得f（x）=g（|x|）=x2-2|x|+1为偶函数，
所以不等式f（log2k）＞f（2）可化为|log2k|＞2，…（8分）
解得k＞4或0＜k＜；…（10分）
（Ⅲ）函数f（x）为[1，3]上的有界变差函数．
因为函数f（x）为[1，3]上的单调递增函数，
且对任意划分T：1=x＜x1＜…＜xi＜…＜xn=3
有f（1）=f（x）＜f（x1）＜…＜f（xI）＜…＜f（xn）=f（3）
所以=f（x1）-f（x）+f（x2）-f（x1）＜…＜f（xn）-f（xn-1）
=f（xn）-f（x）=f（3）-f（1）=4恒成立，所以存在常数M，使得恒成立．…（14分）