Question

已知函数f（x）=ax²+ln（x+1）．
（Ⅰ）当时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当x∈[0，+∞）时，不等式f（x）≤x恒成立，求实数a的取值范围．
（Ⅲ）求证：（其中n∈N^*，e是自然对数）．

Answer

（Ⅰ）把a=-代入函数f（x），再对其进行求导利用导数研究函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当x∈[0，+∞）时，不等式f（x）≤x恒成立，即ax2+ln（x+1）-x≤0恒成立，只要求出ax2+ln（x+1）-x的最小值即可，构造新的函数，利用导数研究其最值问题；
（Ⅲ）由题设（Ⅱ）可知当a=0时，ln（x+1）≤x在[0，+∞）上恒成立，利用此不等式对所要证明的不等式进行放缩，从而进行证明；
【解析】
（Ⅰ）当a=-时，f（x）=-x2+ln（x+1）（x＞-1），
f′（x）=-x+=-（x＞-1），
由f'（x）＞0，解得-1＜x＜1，由f'（x）＜0，解得x＞1．
故函数f（x）的单调递增区间为（-1，1），单调递减区间为（1，+∞）．
（Ⅱ）当x∈[0，+∞）时，不等式f（x）≤x恒成立，即ax2+ln（x+1）-x≤0恒成立，
设g（x）=ax2+ln（x+1）-x（x≥0），只需g（x）max≤0即可．
由g′（x）=2ax+-1=，
（ⅰ）当a=0时，g′（x）=，
当x＞0时，g'（x）＜0，函数g（x）在（0，+∞）上单调递减，
故g（x）≤g（0）=0成立．
（ⅱ）当a＞0时，由g′（x）==0，因x∈[0，+∞），所以x=-1，
①若-1＜0，即a＞时，在区间（0，+∞）上，g'（x）＞0，
则函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，
g（x）在[0，+∞）上无最大值，此时不满足条件；
②若-1≥0，即0＜a≤时，函数g（x）在（0，-1）上单调递减，在区间（-1，+∞）上单调递增，
同样g（x）在[0，+∞）上无最大值，不满足条件．
（ⅲ）当a＜0时，g′（x）=，
∵x∈[0，+∞），∴2ax+（2a-1）＜0，
∴g'（x）≤0，故函数g（x）在[0，+∞）上单调递减，
故g（x）≤g（0）=0成立．
综上所述，实数a的取值范围是（-∞，0]．
（Ⅲ）据（Ⅱ）知当a=0时，ln（x+1）≤x在[0，+∞）上恒成立，
又=2（-），
∵ln{（1+）（1+）（1+）•…•[1+]}
=ln（1+）+ln（1+）+ln（1+）+…+ln[1+]＜+++…+
=2[（-）+（-）+（-）+…+（-）]
=2[（-）]＜1，
∴（1+）（1+）（1+）•…•[1+]＜e．