Question

如图，点A、B分别是椭圆长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，其中A（-6，0），F（4，0），点P在椭圆上且位于x轴上方，．
（Ⅰ）求椭圆的方程和离心率；
（Ⅱ）求点P的坐标；
（Ⅲ）若过点F且倾斜角为45°的直线l交椭圆于D，E两点，求△ADE的面积．

Answer

（I）确定a，c的值，即可求出椭圆的离心率，及椭圆的方程；
（II）利用点P在椭圆上且位于x轴上方，，即可求出P的坐标；
（III）直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理，结合三角形的面积公式，可得结论．
【解析】
（Ⅰ）由题意知a=6，c=4，∴…（1分）
∴b2=a2-c2=36-16=20…（2分）
∴椭圆方程为…（3分）
（Ⅱ）设点P的坐标是（x，y），则，…（4分）
由已知得…（5分）
则2x2+9x-18=0，或x=-6…（7分）
由于y＞0，只能，于是…（8分）
所以点P的坐标是…（9分）
（Ⅲ）∵l的倾斜角为45°，∴l的斜率k=1
∴l：y=x-4⇒x=y+4，
若设D（x1，y1），E（x2，y2）…（10分）
联立：，…（11分）
则…（12分）
显然
∴△ADE的面积为．…（13分）