Question

设各项均为正数的等比数列{a_n}中，a₁+a₃=10，a₃+a₅=40．设b_n=log₂a_n．
（1）求数列{b_n}的通项公式；     
（2）若c₁=1，，求证：c_n＜3．

Answer

（1）设出等比数列的公比，由已知条件列方程组求出等比数列的首项和公比，则等比数列{an}的通项公式可求，代入bn=log2an可求数列{bn}的通项公式；
（2）把求出的an和bn代入，把cn写成cn=（cn-cn-1）+（cn-1-cn-2）+…+（c2-c1）+c1，各项代入后利用错位相减法求cn，cn求出后即可得到结论．
（1）【解析】
设数列{an}的公比为q（q＞0），
由a1+a3=10，a3+a5=40，则，
∵a1≠0，②÷①得：q2=±2，又q＞0，∴q=2．
把q=2代入①得，a1=2．
∴an==2n，则bn==n；
（2）证明：∵c1=1＜3，cn+1-cn==，
当n≥2时，cn=（cn-cn-1）+（cn-1-cn-2）+…+（c2-c1）+c1=1+++…+③，
∴cn=+++…+④，
③-④得：
==．
∴＜3（n≥2）．
故cn＜3（n∈N*）．