Question

已知函数f（x）=xlnx+（a-1）x（a∈R）．
（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；
（Ⅱ）当a=0时，关于x的方程f（x）=m在区间内有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）求函数f（x）在区间上的最小值．

Answer

（I）根据题意得f（x）=xlnx，得曲线y=f（x）在x=1处的斜率k=f'（1）=1，再由直线方程的点斜式即可求出曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；
（II）当a=0时，可得f′（x）=lnx，解出当x∈时，f′（x）＞0的解集为（1，3]且f′（x）＜0的解集为[，1），由此列出函数的导数与单调性关系的表格，得函数的值域为[-1，-ln2-]．由此结合函数的图象即可得到满足条件的实数m的取值范围；
（III）求导数，得f'（x）=lnx+a，由f'（x）=0得x=e-a．然后分a＞1、-1≤a≤1和a＜-1三种情况加以讨论，分别得到函数f（x）在区间上的单调性，通过比较函数的极值与区间端点的值，即可得到f（x）在区间上的最小值的三种情况，得到本题答案．
【解析】
（Ⅰ）∵f'（x）=lnx+1，∴k=f'（1）=1，f（1）=0，…（3分）
∴所求的切线方程为y=x-1．…（4分）
（Ⅱ） 当a=0时，f（x）=xlnx-x，f′（x）=lnx+1-1=lnx…（5分）
∴由，，…（6分）
故可列表：

     x 1 （1，3） 3
y′ - +
y ↘ -1 ↗ 3ln3-3

∵…（9分）
∴关于x的方程f（x）=m在区间内有两个不相等的实数根时；     …（10分）
（Ⅲ） f'（x）=lnx+a（x＞0），由f'（x）=0得x=e-a．…（11分）
①当，即a＞1时，f'（x）＞0，f（x）在上为增函数，
；        …（12分）
②当，即-1≤a≤1时，在上f'（x）＜0，f（x）为减函数，
在[e-a，e]上f'（x）＞0，f（x）为增函数，；          …（13分）
③当e-a＞e，即a＜-1时，f'（x）＜0，f（x）在上为减函数，f（x）min=f（e）=ea．
综上所述，．…（14分）