Question

已知等比数{a_n}，a₁=1，a₄=8，在a_n与a_n+1两项之间依次插入2^n-1个正整数，得到数列{b_n}，即a₁，1，a₂，2，3，a₃，4，5，6，7，a₄，8，9，10，11，12，13，14，15，a₅，…则数列{b_n}的前2013项之和S₂₀₁₃=    （用数字作答）．

Answer

在数列{bn}中，到an项共有=n+（1+2+…+2n-2）=n+=2n-1+n-1项，即为f（n）（n≥2），因此判断出共含有an的项数，进而即可得出S2013．
【解析】
在数列{bn}中，到an项共有=n+（1+2+…+2n-2）=n+=2n-1+n-1项，即为f（n）（n≥2）．
则f（11）=210+11-1=1034，f（12）=211+12-1=2059．
设等比数{an}的公比为q，由a1=1，a4=8，得1×q3=8，解得q=2，
因此S2013=a1+a2+…+a10+a11+1+2+3+…+2002=+=2007050．
故答案为2007050．