Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，对任意n∈N^*都有S_n=（）²成立．
（1）求数列{a_n}的前n项和S_n；
（2）记数列b_n=a_n+λ，n∈N^*，λ∈R，其前n项和为T_n．
①若数列{T_n}的最小值为T₆，求实数λ的取值范围；
②若数列{b_n}中任意的不同两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”．试问：是否存在这样的“封闭数列”{b_n}，使得对任意n∈N^*，都有T_n≠0，且＜+++L+＜．若存在，求实数λ的所有取值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）利用，即可得到法一或法二；
（2）①由题意可得Tn≥T6，即可求出λ的取值范围；
②因{bn}是“封闭数列”，设bp+bq=bm（p，q，m∈Z*，且任意两个不相等 ）得2p-1+λ+2q-1+λ=2m-1+λ，化为λ=2（m-p-q）+1，则λ为奇数．
由任意n∈N*，都有Tn≠0，且＜+++…+＜．
得 ，化为，即λ的可能值为1，3，5，7，9，
又＞0，因为，检验得满足条件的λ=3，5，7，9，
（1）法一：由Sn=（）2 得：①，②，
②-①得，得到2（an+1+an）=（an+1+an）（an+1-an）
由题知an+1+an≠0得an+1-an=2，
又，化为，解得a1=1．
∴数列{an}是以1为首项，2为公差的等差数列，∴an=1+（n-1）×1=2n-1，
因此前n项和Sn==n2；
法二：由，化为，解得a1=1．
当n≥2时，，
得到，即
所以数列{}是以1为首项，1为公差的等差数列，
∴=n，得到．
（2）①由bn+2n-1+λ得到其前n项和Tn=n2+λn，
由题意Tn最小值为T6，即Tn≥T6，n2+λn≥36+6λ，
化为，∴λ∈[-13，-11]．
②因{bn}是“封闭数列”，设bp+bq=bm（p，q，m∈Z*，且任意两个不相等 ）得
2p-1+λ+2q-1+λ=2m-1+λ，化为λ=2（m-p-q）+1，则λ为奇数．
由任意n∈N*，都有Tn≠0，且＜+++…+＜．
得 ，化为，即λ的可能值为1，3，5，7，9，
又＞0，因为，
检验得满足条件的λ=3，5，7，9，
即存在这样的“封闭数列”{bn}，使得对任意n∈N*，都有Tn≠0，
且＜+++…+＜．，
所以实数λ的所有取值集合为{3，5，7，9}．