Question

设正数x，y满足log₂（x+y+3）=log₂x+log₂y，则x+y的取值范围是     ．

Answer

由题设知x+y+3=xy，再由x2-2xy+y2≥0，得到x2+2xy+y2≥4xy，所以xy，设x+y=a，由此可求出x+y的取值范围．
【解析】
∵正数x，y满足log2（x+y+3）=log2x+log2y，
∴log2（x+y+3）=log2xy，
∴x+y+3=xy，
又x2-2xy+y2≥0，
所以左右加上4xy得到x2+2xy+y2≥4xy，
所以xy，
由x+y+3=xy得到x+y+3，
设x+y=a即4a+12≤a2，
解得a为（-∞，-2]或[6，+∞）．
根据定义域x，y均大于零所以x+y取值范围是[6，+∞）．
故答案为：[6，+∞）．