Question

已知数列{a_n}中，a₁=3，a_n+1=2a_n-1（n≥1）．
（Ⅰ）设b_n=a_n-1（n=1，2，3，…），求证：数列{b_n}是等比数列；
（Ⅱ）设c_n=，求证：数列{c_n}的前n项和S_n＜．

Answer

（Ⅰ）由题意，an+1=2an-1，两边同减1，即可证得数列{bn}为首项是2，公比为2的等比数列；
（Ⅱ）求出bn=2n，可得an=2n+1，对cn=裂项，从而可求Tn的值，即可证得结论．
证明：（Ⅰ）∵an+1=2an-1，∴an+1-1=2（an-1）
∵bn=an-1，∴bn+1=2bn，
∵a1=3，∴b1=a1-1=2≠0，∴数列{bn}是等比数列
（Ⅱ）由（Ⅰ）bn=2n，∴an=2n+1
∴cn==-
∴Tn=（-）+（-）+…+（-）=-＜