Question

已知数列{a_n}的各项均为正数，其前n项和为S_n，且a_n与1的等差中项等于S_n与1的等比中项．
（1）求a₁的值及数列{a_n}的通项公式；
（2）设，若数列{b_n}是单调递增数列，求实数λ的取值范围．

Answer

（1）由an与1的等差中项等于Sn与1的等比中项列出递推式，取n=1求出a1，取n=n-1得到另一递推式，作差后整理得到（an+an-1）（an-an-1-2）=0，再由数列是正项数列得到an-an-1=2，然后直接写出等差数列的通项公式；
（2）把（1）中求出的通项公式代入，根据数列{bn}是单调递增数列得到=3×4n-3λ×（-1）n-1×2n+1＞0恒成立．分n为偶数和奇数讨论后求出λ的取值范围．
【解析】
（1）由已知得，，．
当n=1时，求得a1=1
当n≥2时，
所以
整理得（an+an-1）（an-an-1-2）=0，
因为{an}的各项均为正数，所以an-an-1=2，
又a1=1，所以an=2n-1；
（2）由（1）得，，
又数列{bn}是单调递增数列，所以bn＜bn+1恒成立，
从而
=3×4n-3λ×（-1）n-1×2n+1＞0恒成立．
①当n是奇数时，得λ＜2n-1恒成立，2n-1的最小值为1，λ＜1
②当n是偶数时，得λ＞-2n-1恒成立，-2n-1最大值为-2，λ＞-2．
综上得：-2＜λ＜1．