Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c．
（Ⅰ）若，求f（x）在[-2，4]上的最大值与最小值；
（Ⅱ）设函数f（x）的图象关于原点O对称，在点P（x，f（x））处的切线为l，l与函数f（x）的图象交于另一点Q（x₁，y₁）．若P、Q在x轴上的射影分别为P₁、Q₁，，求λ的值．

Answer

（Ⅰ）求出函数的导函数得到函数的驻点，然后在[-2，4]上利用驻点分区间讨论函数的增减性得到函数的最值即可；
（Ⅱ）根据奇函数定义f（-x）=-f（x）求出a和c得到f（x）解析式并求出导函数在点P（x，f（x））写出切线方程，与f（x）解析式联立求出公共解，再根据求出λ的值即可．
（Ⅰ）若，f′（x）=3x2-3x-6=3（x-2）（x+1）

最小值为f（2）=-9，最大值为f（4）=17，
（Ⅱ）由已知得：函数f（x）=x3+ax2+bx+c为奇函数
∴a=0，c=0，∴f（x）=x3+bx
∴f′（x）=3x2+b
∵切点为P（x，y），其中y=f（x），
则切线l的方程为：y=（3x2+b）（x-x）+y
由
得x3+bx=（3x2+b）（x-x）+y
又y=f（x）=x3+bx
∴x3-x3+b（x-x）-（3x2+b）（x-x）=0
∴（x-x）（x2+xx-2x2）=0
∴（x-x）2（x+2x）=0
∴x=x或x=-2x，由题意知，x≠0
从而x1=-2x
∵
∴x1=λx
∴λ=-2