已知a∈R，函数（其中e为自然对数的底）．（1）当a＞0时，求函数f（x）在区...

已知a∈R，函数

（其中e为自然对数的底）．
（1）当a＞0时，求函数f（x）在区间（0，e]上的最小值；
（2）是否存在实数x∈（0，e]，使曲线y=g（x）在点x=x处的切线与y轴垂直？若存在求出x的值，若不存在，请说明理由．

（1）得出f′（x）==，利用函数单调性与导数的关系寻求f（x）在区间（0，e]上单调性，得出最小值．（2）曲线y=g（x）在点x=x处的切线与y轴垂直，等价于g′（x）=0有实数根．g′（x）=•ex+（lnx-1）ex+1=（+lnx-1）ex+1其中括号内部分正好为当a=1时，，利用（1）的结论，得出g′（x）＞0，所以方程g′（x）=0无实数根，故不存在．【解析】（1）∵∴f′（x）==，令f′（x）=0得，x=a， ①若0＜a＜e，当x∈（0，a）时，f′（x）＜0，函数f（x）在区间（0，a）上单调递减，当x∈（a，e）时，f′（x）＞0，函数f（x）在区间（a，e）上单调递增，所以当x=a时，函数f（x）在区间（0，e]上取得最小值lna． ②若a≥e，则f′（x）≤0，函数f（x）在区间（0，e]上单调递减，所以当x=e时，函数f（x）在区间（0，e]上取得最小值．；综上所述，当0＜a＜e时，函数f（x）在区间（0，e]上取得最小值lna，当a≥e时，函数f（x）在区间（0，e]上取得最小值．；（2）不存在．证明如下，x∈（0，e]， ∴g′（x）=•ex+（lnx-1）ex+1=（+lnx-1）ex+1 由（1）知，当a=1时，，此时f（x）在区间（0，e]上取得最小值ln1=0，即，而ex＞0，所以g′（x）≥1＞0，又曲线y=g（x）在点x=x处的切线与y轴垂直，等价于g′（x）=0有实数根，而g′（x）＞0，所以方程g′（x）=0无实数根，故不存在实数x∈（0，e]，使曲线y=g（x）在点x=x处的切线与y轴垂直．

复制答案

考点分析：

相关试题推荐

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c．
（Ⅰ）若 manfen5.com 满分网

，求f（x）在[-2，4]上的最大值与最小值；
（Ⅱ）设函数f（x）的图象关于原点O对称，在点P（x，f（x））处的切线为l，l与函数f（x）的图象交于另一点Q（x₁，y₁）．若P、Q在x轴上的射影分别为P₁、Q₁， manfen5.com 满分网

，求λ的值．

查看答案

某企业有两个生产车间分别在A、B两个位置，A车间有100名员工，B车间有400名员工，现要在公路AC上找一点D，修一条公路BD，并在D处建一个食堂，使得所有员工均在此食堂用餐，已知A、B、C中任意两点间的距离均是1km，设∠BDC=α，所有员工从车间到食堂步行的总路程为S．
（1）写出S关于α的函数表达式，并指出α的取值范围；
（2）问食堂D建在距离A多远时，可使总路程S最少？

查看答案

已知函数f（x）=-x³+ax²+bx+c在（-∞，0）上是减函数，在（0，1）上是增函数，函数f（x）在R上有三个零点，且1是其中一个零点．
（1）求b的值；
（2）求a的取值范围．

查看答案

已知函数f（x）=4sin²（ manfen5.com 满分网