Question

设数列{a_n}为等比数列，，公比q是的展开式中的第二项（按x的降幂排列）．
（1）确定m的值
（2）用n，x表示通项a_n与前n项和S_n；
（3）记 
①证明，当x=1时，
②当x≠1时，用n，x表示A_n．

Answer

（1）由a1=•可得到关于m的不等式组，解之即可得m；
（2）结合（1）知a1=1，可求得公比为x，从而可求得通项an与前n项和Sn；
（3）当x=1时，Sn=n，此时An=+2+3+…+n，①又An=n+（n-1）+…+1• ②，二者相加即可证得结论；
当x≠1时，Sn=，此时An=++…+，提取公因式，再分组求和即可．
（1）由a1=•得⇔，
∴m=3，
（2）a1=•=1．
又 展开式中第2项T2=•x3•（）=x，即公比为x，
∴an=xn-1，
∴Sn=；
（2）由Sn表达式引发讨论：
（Ⅰ）当x=1时，Sn=n，此时An=+2+3+…+n，①
又An=n+（n-1）+…+1• ②
∴①+②得2An=n（++…+）=n•2n，
∴An=n•2n-1．
（Ⅱ）当x≠1时，Sn=，此时An=++…+ 
=[（++…+）-（x+x2+x3+…+xn）]
={（2n-1）-[（1+x）n-1]}
=[2n-（1+x）n]．