Question

如图，已知四棱锥S-ABCD的底面是边长为1的正方形，SD⊥底面ABCD，SB=，点M为棱SA的中点．
（1）求证：DM⊥平面SAB；
（2）求异面直线DM与SC所成角的大小．

Answer

（1）依题意，可证△SDA为等腰直角三角形，从而DM⊥SA，由BA⊥面SAD 可证得DM⊥AB，利用线面垂直的判定定理即可证得DM⊥平面SAB；
（2）以D点为坐标原点建立空间直角坐标系，依题意可求得，的坐标，利用空间向量的数量积即可求得异面直线DM与SC所成角的大小．
【解析】
（1）连接BD，则BD=，
∵SB=，在直角三角形SBD中，SD=DA=1，
∴△SDA为等腰直角三角形，又M为棱SA的中点，
∴DM⊥SA；
∵SD⊥底面ABCD，
∴SD⊥AB，又AB⊥AD，AB∩AD=A，
∴AB⊥平面SAD，DM⊂平面SAD，
∴DM⊥AB，又AB∩AS=A，
∴DM⊥平面SAB；
（2）以D点为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DS为z轴建立空间直角坐标系，

∵四棱锥S-ABCD的底面是边长为1的正方形，SD=1，
∴D（0，0，0），A（1，0，0），C（0，1，0），S（0，0，1），
∵M为棱SA的中点，
∴M（，0，），
∴=（，0，），=（0，1，-1），设异面直线与所成角的大小为θ，
cosθ===-，
∴|cosθ|=，
∴异面直线DM与SC所成角为．