Question

考察下列一组不等式：2³+5³＞2²•5+2•5²，2⁴+5⁴＞2³•5+2•5³，2⁵+5⁵＞2³•5²+2²•5³，…．将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式可以是    ．

Answer

题目中的式子变形得22+1+52+1＞22•51+21•52（1）23+1+53+1＞23•51+21•53（2）观察会发现指数满足的条件，可类比得到2m+n+5m+n＞2m5n+2n5m，使式子近一步推广得2n+5n＞2n-k5k+2k5n-k，n≥3，1≤k≤n
【解析】
22+1+52+1＞22•51+21•52（1）
23+1+53+1＞23•51+21•53（2）
观察（1）（2）（3）式指数会发现规律，
则推广的不等式可以是：2n+5n＞2n-k5k+2k5n-k，n≥3，1≤k≤n
故答案为：2n+5n＞2n-k5k+2k5n-k，n≥3，1≤k≤n．