(1)先求导数f'(x)=3x2-3,欲求出切线方程,只须求出其斜率即可,故先利用导数求出在x=2处的导函数值,再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率.从而问题解决.
(2)先将过点A(1,m)(m≠-2)可作曲线y=f(x)的三条切线转化为:方程2x3-3x2+m+3=0(*)有三个不同实数根,记g(x)=2x3-3x2+m+3,g'(x)=6x2-6x=6x(x-1),下面利用导数研究函数g(x)的零点,从而求得m的范围.
【解析】
(1)f'(x)=3x2-3,f'(2)=9,f(2)=23-3×2=2(2分)
∴曲线y=f(x)在x=2处的切线方程为y-2=9(x-2),即9x-y-16=0(4分)
(2)过点A(1,m)向曲线y=f(x)作切线,设切点为(x,y)
则y=x3-3x,k=f'(x)=3x2-3.
则切线方程为y-(x3-3x)=(3x2-3)(x-x)(6分)
将A(1,m)代入上式,整理得2x3-3x2+m+3=0.
∵过点A(1,m)(m≠-2)可作曲线y=f(x)的三条切线
∴方程2x3-3x2+m+3=0(*)有三个不同实数根、(8分)
记g(x)=2x3-3x2+m+3,g'(x)=6x2-6x=6x(x-1)、
令g'(x)=0,x=0或1、(10分)
则x,g'(x),g(x)的变化情况如下表
x (-∞,0) (0,1) 1 (1,+∞)
g'(x) + - +
g(x) 递增 极大 递减 极小 递增
当x=0,g(x)有极大值m+3;x=1,g(x)有极小值m+2、(12分)
由题意有,当且仅当即时,
函数g(x)有三个不同零点、
此时过点A可作曲线y=f(x)的三条不同切线.故m的范围是(-3,-2)(14分)