Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=a，E，F分别是BC，DC的中点．
（1）求直线BD₁与平面ABCD所成角的正切值；
（2）求异面直线AD₁与EF所成角的大小．

Answer

（1）确定∠D1BD是直线BD1与平面ABCD所成角，在直角△D1DB中，可得结论；
（2）连结BC1、BD和DC1，证明∠DBC1就是异面直线AD1与EF所成角，即可得出结论．
【解析】
（1）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，BD是BD1在平面ABCD内的射影，
所以∠D1BD是直线BD1与平面ABCD所成角．
设正方体的棱长为a，在直角△D1DB中，D1D=a，BD=a，∠D1DB=90°，
则tan∠D1DB==；                            6分
（2）连结BC1、BD和DC1，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
由AB∥D1C1且AB=D1C1有ABC1D1是平行四边形，
∴AD1∥BC1
在△BCD中，E，F分别是BC，DC的中点，
∴有EF∥BD，所以∠DBC1就是异面直线AD1与EF所成角
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，BC1、BD和DC1是其三个面上的对角线，它们相等．
所以△DBC1是正三角形，∠DBC1=60°
故异面直线AD1与EF所成角的大小为60°                         13分