Question

如图，E、F分别为直角三角形ABC的直角边AC和斜边AB的中点，沿EF将△AEF折起到△A'EF的位置，使A′C=，连结A′B、A′C．
（1）求二面角A-BC-A′的大小
（2）求证：AA′⊥平面A′BC．

Answer

（1）证明∠A′CA=∠A′CE是二面角A-BC-A′的平面角，利用余弦定理，即可求解；
（2）由（1）BC⊥平面A′AC得BC⊥AA′，证明AA′⊥A′C，利用聪明垂直的判定定理，可得结论．
（1）【解析】
∵E、F分别为直角三角形ABC的直角边AC和斜边AB的中点
∴EF∥BC
∵直角三角形ABC中，∠C=90°，∴AC⊥BC
∴EF⊥AC
折后，EF⊥AC，EF⊥AF．
∴EF⊥平面A′AC
∵EF∥BC，∴BC⊥平面A′AC
∵A′C，AC⊂平面A′AC，∴BC⊥AC，BC⊥A′C
∴∠A′CA=∠A′CE是二面角A-BC-A′的平面角
设AC=2a，在△A′EC中，A′C=EC=a，A′E=a
∴cos∠A′CE==，
∴∠A′CE=
∴二面角A-BC-A′的大小为                     7分
（2）证明：由（1）BC⊥平面A′AC得BC⊥AA′
∵EA=EA′=EC，
∴A′在以AC为直径的圆上
∴AA′⊥A′C
又BC∩A′C=C，BC，A′C⊂平面A′BC
∴AA′⊥平面A′BC．                                              12分．