Question

如图，圆O的直径AC=8cm，直线l与圆相切于点A，P为圆的右半圆弧上的动点，PB⊥直线l于B，求△PAB面积的最大值．

Answer

以直线l所在的直线为x轴，以AC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，可得圆的方程为 x2+（y-4）2=16，（0＜y＜8）．设△PAB面积为S，则
S2=x2•y2=2y3-y4．利用导数求得S2的最大值，从而求得S的最大值．
【解析】
以直线l所在的直线为x轴，以AC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，
则圆心O为（0，4），且半径为4，
圆的方程为 x2+（y-4）2=16，（0＜y＜8）．
故△PAB面积为S=•AB•BP=xy，∴S2=x2•y2=[16-（y-4）2]y2=2y3-y4．
由于函数S2的导数为 （S2）′=6y2-y3，令 （S2）′=6y2-y3=0，可得y=6，
故当y=6时，S2取得最大值为108，故S的最大值为6 （平方厘米）．