Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列．
（1）若，c=2，求△ABC的面积；
（2）若sinA，sinB，sinC成等比数列，试判断△ABC的形状．

Answer

（1）根据A、B、C成等差数列，结合A+B+C=π算出B=，再由正弦定理得sinC==．根据b＞c得C为锐角，得到C=，从而A=π-B-C=，△ABC是直角三角形，由此不难求出它的面积；
（2）根据正弦定理，结合题意得b2=ac，根据B=利用余弦定理，得b2=a2+c2-ac，从而得到a2+c2-ac=ac，整理得得（a-c）2=0，由此即可得到△ABC为等边三角形．
【解析】
【解析】
∵A、B、C成等差数列，可得2B=A+C．
∴结合A+B+C=π，可得B=．
（1）∵，c=2，
∴由正弦定理，得sinC===．
∵b＞c，可得B＞C，∴C为锐角，得C=，从而A=π-B-C=．
因此，△ABC的面积为S==×=．
（2）∵sinA、sinB、sinC成等比数列，即sin2B=sinAsinC．
∴由正弦定理，得b2=ac
又∵根据余弦定理，得b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac，
∴a2+c2-ac=ac，整理得（a-c）2=0，可得a=c
∵B=，∴A=C=，可得△ABC为等边三角形．