Question

在数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=4a_n-3n+1，n∈N^*
（1）证明数列{a_n-n}为等比数列
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer

（1）由an+1=4an-3n+1可得an+1-（n+1）=4an-3n+1-（n+1）=4an-4n=4（an-n），从而可证
（2）由（1）可求an，利用分组求和及等差数列与等比数列的求和公式可求Sn
【解析】
（1）∵an+1=4an-3n+1n∈N*，
∴an+1-（n+1）
=4an-3n+1-（n+1）…（4）分
=4an-4n=4（an-n）…（6）分
∴{an-n}为首项a1-1=1，公比q=4的等比数列…（8）分
（2）∵an-n=4n-1
∴an=n+4n-1…（10）分
Sn=1+2+…+n+（1+4+…+4n-1）
=
=…（13）分