Question

△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosB-bcosA=c，则tan（A-B）的最大值是    ．

Answer

首先利用正弦定理化边为角，可得2RsinAcosB-2RsinBcosA=2RsinC，然后利用诱导公式、同角的三角函数的基本关系式及两角和与差的正弦公式可得tanA=4tanB，再根据两角差的正切公式、均值不等式求解即可．
【解析】
∵a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，
∴2RsinAcosB-2RsinBcosA=2RsinC，
即sinAcosB-sinBcosA=sinC，①
∵sinC=sin[π-（A+B）]=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，②
将②代入①中，整理得sinAcosB=4cosAsinB，
∴=4•，
即tanA=4tanB；
∵tan（A-B）===≤=，
∴tan（A-B）的最大值为，
故答案为．