Question

△ABC中，角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，且a（cosB+cosC）=b+c．
（1）求证：A=；
（2）若△ABC外接圆半径为1，求△ABC周长的取值范围．

Answer

（1）根据余弦定理求得cosB，和cosC代入题设等式中，整理得（b+c）（a2-b2-c2）=0进而求得a2=b2+c2．判断出A=．
（2）根据直角三角形外接圆的性质可求得a，进而求得b+c的表达式，进而根据B的范围确定b+c的范围，进而求得三角形周长的范围．
【解析】
（1）证明：∵a（cosB+cosC）=b+c
∴由余弦定理得a•+a•=b+c．
∴整理得（b+c）（a2-b2-c2）=0．
∵b+c＞0，∴a2=b2+c2．故A=．
（2）∵△ABC外接圆半径为1，A=，∴a=2．
∴b+c=2（sinB+cosB）=2sin（B+）．
∵0＜B＜，∴＜B+＜，∴2＜b+c≤2．
∴4＜a+b+c≤2+2，
故△ABC周长的取值范围是（4，2+2]．