Question

已知函数f（x）=x|x-2|，x∈R．
（1）求不等式-3＜f（x）＜3的解集；
（2）设f（x）在[0，a]上的最大值为g（a），若，求正实数a的取值范围．

Answer

（1）通过分类讨论直接求解不等式的解集即可．
（2）求出函数在[0，a]上的最大值为g（a）的表达式，利用得到不等式求解即可．
【解析】
（1）由题意不等式-3＜f（x）＜3，化为不等式-3＜x|x-2|＜3，
当x＜2时，不等式为：-3＜2x-x2＜3，即，
解得-1＜x＜2；
当x≥2时，不等式-3＜x|x-2|＜3为：-3＜x2-2x＜3，即，
解得：2≤x＜3；
综上不等式的解集为：{x|-1＜x＜3}．
（2）函数f（x）=x|x-2|=，
函数f（x）在[0，a]上的最大值为g（a）=，
由，可得：0＜a≤2时，2a-a2＜a，解得：0＜a≤2且a；
1＜a≤1+时，1＜a，解得：1＜a≤1+，
a≥1+时，a2-2a＜a，解得a＞；
综上a的取值范围是：{a|或1＜a≤1+或a＞}