Question

已知两定点E（-，0），F（，0），动点P满足•=0，由点P向x轴作垂线PQ，垂足为Q，点M满足=，点M的轨迹为C．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）若直线l交曲线C于A、B两点，且坐标原点O到直线l的距离为，求|AB|的最大值及对应的直线l的方程．

Answer

（Ⅰ）先求出P的轨迹4方程，再确定M，P坐标之间的关系，即可求曲线C的方程；
（Ⅱ）分类讨论，设出直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式，结合坐标原点O到直线l的距离为，即可求|AB|的最大值及对应的直线l的方程．
【解析】
（Ⅰ）∵动点P满足•=0，∴点P的轨迹方程为x2+y2=2．
设M（x，y），依题意可得P（x，y）
代入P满足的方程可得x2+（y）2=2，即曲线C：+y2=1．…（4分）
（Ⅱ）①若直线l垂直于x轴，此时|AB|=．   …（5分）
②若直线l不垂直于x轴，设直线l的方程为y=kx+m，
则原点O到直线l的距离为=，整理可得2m2=1+k2．…（6分）
由消去y可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2-2=0．
设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意可得△＞0，
则x1+x2=-，x1x2=．
∴|AB|=•=2•…（8分）
∵2m2=1+k2，
∴2（1+k2）（1+2k2-m2）=（1+k2）（2+4k2-2m2）=（1+k2）（1+3k2）≤（1+2k2）2，
等号当且仅当1+k2=1+3k2，即k=0时成立．
即2•≤2，
所以k=0时，|AB|取得最大值2．
此时直线l的方程为y=±．…（12分）