Question

已知数列{a_n}是首项a₁=1的等差数列，其前n项和为S_n，数列{b_n}是首项b₁=2的等比数列，且b₂S₂=16，b₁b₃=b₄．
（1）求a_n和b_n；
（2）令c₁=1，c_2k=a_2k-1，c_2k+1=a_2k+k•b_k（k=1，2，3，…），若数列{c_n}的前n项和为T_n，试比较T_2n+1-13n与（2n-2）b_n的大小．

Answer

（1）先设出公差和公比，结合b2S2=16，b1b3=b4求出公差和公比即可得到an和bn；
（2）先写出Tn的表达式；再借助于分组求和以及错位相减求和求出T2n+1的表达式；最后对T2n+1-13n与（2n-2）bn做差，通过分类讨论即可得到结论．
【解析】
（1）设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q，
则an=1+（n-1）d，bn=2qn-1，
由b1b3=b4，得q==2．
由b2s2=16=2q（2+d），解得d=2．
∴an=2n-1，bn=2n．
（2）∵T2n+1=c1+a1+（a2+b1）+a3+（a4+2b2）+…+a2n-1+（a2n+nbn）
=1+S2n+（b1+2b2+…+nbn）．
令A=b1+2b2+…+nbn．
则A=2+2•2+3•23+…+n•2n，
2A=22+2•23+…+（n-1）•2n+n•2n+1．
∴-A=2+22+…+2n-n•2n+1=-n•2n+1；
∴A=n•2n+1-2n+1+2．
又S2n==4n2．
∴T2n+1=1+4n2+n•2n+1-2n+1+2=3+4n2+（n-1）2n+1．
∴T2n+1-13n-（2n-2）bn=3+4n2+（n-1）2n+1-13n-（2n-2）•2n=3+4n2-13n．
令3+4n2-13n=0⇒n=3或n=．
令3+4n2-13n＜0⇒＜n＜3；
令3+4n2-13n＞0⇒n＜或n＞3．
又因为n是正整数，
所以：当n=1或2时T2n+1-13n＜（2n-2）bn；
n=3时，T2n+1-13n=（2n-2）bn；
当n＞3时，T2n+1-13n＞（2n-2）bn．