Question

过双曲线（a＞0，b＞0）左焦点F₁，倾斜角为30°的直线交双曲线右支于点P，若线段PF₁的中点在y轴上，则此双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．3
D．

Answer

设F1（-c，0），P（x，y），依题意可求得直线PF1的方程为：y=（x+c），△MF1O为直角三角形，经分析知OM为直角三角形PF1F2的中位线，从而可求得|PF1|与|PF2|，利用双曲线定义及离心率公式即可求得答案．
【解析】
设F1（-c，0），P（x，y），
依题意，直线PF1的方程为：y=（x+c），设直线PF1与y轴的交点为M（0，m），
∵M为线段PF1的中点，
∴=0，m=．
∴x=c，
∴y=（x+c）=c，m=c．
∵△MF1O为直角三角形，∠PF1O=30°，
∴|MF1|=2|OM|=2m=c；
又M为线段PF1的中点，O为F1F2的中点，
∴OM为直角三角形PF1F2的中位线，
∴|PF1|=c，|PF2|=c，
∴2a=|PF1|-|PF2|=c，
∴其离心率e==．
故选D．