Question

已知过点P（0，2）的直线l与抛物线C：y²=4x交于A、B两点，O为坐标原点．
（1）若以AB为直径的圆经过原点O，求直线l的方程；
（2）若线段AB的中垂线交x轴于点Q，求△POQ面积的取值范围．

Answer

（1）设直线AB的方程为y=kx+2（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），由，得k2x2+（4k-4）x+4=0，由△=（4k-4）2-16k2＞0，得k＜，由=，，知y1y2=（kx1+2）（kx2+2）=，由以AB为直径的圆经过原点O，能求出直线l的方程．
（2）设线段AB的中点坐标为（x，y），由，得，故线段AB的中垂线方程为，由此能求出△POQ面积的取值范围．
【解析】
（1）设直线AB的方程为y=kx+2（k≠0），
设A（x1，y1），B（x2，y2），
由，得k2x2+（4k-4）x+4=0，
则由△=（4k-4）2-16k2=-32k+16＞0，得k＜，
=，，
所以y1y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2x1x2+2k（x1+x2）+4=，
因为以AB为直径的圆经过原点O，
所以∠AOB=90°，
即，
所以，
解得k=-，
即所求直线l的方程为y=-．
（2）设线段AB的中点坐标为（x，y），
则由（1）得，，
所以线段AB的中垂线方程为，
令y=0，得==，
又由（1）知k＜，且k≠0，得或，
所以，
所以=，
所以△POQ面积的取值范围为（2，+∞）．