Question

已知点A，B是双曲线上的两点，O为原点，若，则点O到直线AB的距离为    ．

Answer

利用向量的垂直与坐标的关系、点到直线的距离公式及直线与圆锥曲线相交问题的解题模式即可得出．
【解析】
设直线AB的方程为my=x+t，A（x1，y1），B（x2，y2），
∵，∴x1x2+y1y2=0，
∵my1=x1+t，my2=x2+t，∴x1x2=（my1-t）（my2-t）=，
∴．（*）
联立，消去x得到关于y的一元二次方程：2（my-t）2-y2=2，
化为（2m2-1）y2-4mty+2t2-2=0（2m2-1≠0）．
∵直线BA与此双曲线有两个不同的交点，∴△＞0．
由根与系数的关系得y1+y2=，y1y2=，代入（*）得-，
化为t2=2（m2+1）．
∴点O到直线AB的距离d==．
故答案为．