①根据对数函数的真数大于0,建立关系式解之验证定义域即可;②函数f(x)是奇函数,利用奇函数的定义进行判断;③函数f(x)的最小值为-lg2,利用基本不等式与对数的运算性质求出最值;④求出导数,解出单调区间,验证即可.
【解析】
①函数f(x)的定义域是(0,+∞),令>0,解得x>0,故定义域是(0,+∞),命题正确;
②函数f(x)是奇函数,由①知,定义域不关于原点对称,故不是奇函数,命题不正确;
③函数f(x)的最小值为-lg2,不正确,因为,最大值是-lg2,故命题不正确;
④当0<x<1时,函数f(x)是增函数;当x>1时,函数f(x)是减函数,命题正确,因为,令导数大于0,可解得0<x<1,令导数大于0,得x>1,故命题正确.
综上,①④正确
故答案为:①④