Question

已知函数f（x）=，（a＞0且a≠1）．
（1）判断f（x）的奇偶性，并加以证明；
（2）设g（x）=log_a（x-3），若方程f（x）-1=g（x）有实根，求a的取值范围；
（3）是否存在实数m使得f（x+2）+f（m-x）为常数？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．

Answer

（1）先由对数的真数大于零和分式不等式的解法，求出函数的定义域，利用奇偶函数定义进行判定，得到f（-x）=-f（x），所以说明f（x）为奇函数；
（2）由题意得在（5，+∞）上有解，设，求出对称轴并对其分类讨论，借助于二次函数得到求出a的范围，
法二：利用分离常数法得在（5，+∞）上有解，设x-5=t，求出t的范围代入解析式后化简，利用基本不等式求出a的范围；
（3）假设存在这样的m满足条件，由对数的运算对f（x+2）+f（m-x）化简和设值，转化为：（k-1）x2+（m-2）（1-k）x-3（m-5）-7k（m+5）=0对定义域内的x恒成立，列出等价方程组进行求解．
【解析】
（1）f（x）为奇函数，
由得，（x-5）（x+5）＞0，解得x＞5或x＜-5，
∴函数的定义域是{x|x＞5或x＜-5}，
∵f（-x）==-f（x）
∴f（x）为奇函数；
（2）方程在（5，+∞）上有解，
设，则对称轴
①时，即且a≠1，则h（5）＜0，无解；
②时，即，则△≥0解得，
综上，
法二：在（5，+∞）有解，设x-5=t，则t∈（0，+∞）
设，则，
∵，当且仅当取等号，
∴值域为，
∴，
（3）若存在这样的m，则

∴为常数，
设，
则（k-1）x2+（m-2）（1-k）x-3（m-5）-7k（m+5）=0对定义域内的x恒成立，
∴，解得，
所以存在这样的m=-2．