Question

如图甲，在直角梯形PBCD中，PB∥CD，CD⊥BC，BC=PB=2CD，A是PB的中点．现沿AD把平面PAD折起，使得PA⊥AB（如图乙所示），E、F分别为BC、AB边的中点．

（Ⅰ）求证：PA⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求证：平面PAE⊥平面PDE；
（Ⅲ）在PA上找一点G，使得FG∥平面PDE．

Answer

（Ⅰ）直接证明PA垂直平面ABCD 内的两条相交直线，可证PA⊥平面ABCD；
（Ⅱ）证明平面PDE经过平面PAE的一条垂线ED，即可中证明平面PAE⊥平面PDE；
（Ⅲ）过点F作FH∥ED交AD于H，再过H作GH∥PD交PA于G，连接FG，证明平面FHG∥平面PED，即可证明FG∥平面PDE．
【解析】
（Ⅰ）证：因为PA⊥AD，PA⊥AB，AB∩AD=A，所以PA⊥平面ABCD（4分）
（Ⅱ）证：因为BC=PB=2CD，A是PB的中点，所以ABCD是矩形，又E为BC边的中点，所以AE⊥ED．又由PA⊥平面ABCD，得PA⊥ED，且PA∩AE=A，所以ED⊥平面PAE，而ED⊂平面PDE，故平面PAE⊥平面PDE（9分）
（Ⅲ）过点F作FH∥ED交AD于H，再过H作GH∥PD交PA于G，连接FG．
由FH∥ED，ED⊂平面PED，得FH∥平面PED；
由GH∥PD，PD⊂平面PED，得GH∥平面PED，
又FH∩GH=H，所以平面FHG∥平面PED（12分）
再分别取AD、PA的中点M、N，连接BM、MN，易知H是AM的中点，G是AN的中点，
从而当点G满足时，有FG∥平面PDE．（14分）