Question

为进行科学实验，观测小球A、B在两条相交成60°角的直线型轨道上运动的情况，如图所示，运动开始前，A和B分别距O点3m和1m，后来它们同时以每分钟4m的速度各沿轨道l₁、l₂按箭头的方向运动．问：
（1）运动开始前，A、B的距离是多少米？（结果保留三位有效数字）．
（2）几分钟后，两个小球的距离最小？

Answer

（1）运动开始前，AO=3，BO=1，∠AOB=60°，利用余弦定理算出AB2的值，即可得到A、B之间的距离；
（2）利用余弦定理，分当和当两种情况加以讨论，再综合可得（A'B'）2=48t2-24t+7（t≥0），结合二次函数的图象与性质，可得当t=时，有最小值，两个小球的距离同时达到最小．
【解析】
（1）运动开始前，AO=3，BO=1，∠AOB=60°
∴AB2=AO2+BO2-2AO•BOcos60°
由此可得小球开始运动前的距离为：
（2）设t分钟后，小球A、B分别运动到A'、B'处，则AA'=4t，BB'=4t．
当时，（A'B'）2=（3-4t）2+（1+4t）2-2•（3-4t）•（1+4t）•cos60°=48t2-24t+7
当时，（A'B'）2=（4t-3）2+（1+4t）2-2•（4t-3）•（1+4t）•cos120°=48t2-24t+7
故 （A'B'）2=48t2-24t+7（t≥0）
∵
∴当，（A'B'）min=2（m）
即分钟后两个小球的距离最小，最小值为2m．