Question

过点A （4，3）作直线L，如果它与双曲线-=1只有一个公共点，则直线L的条数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

Answer

写出过点A（4，3）的直线L的方程，和双曲线方程联立后化为关于x的一元二次方程，由判别式等于0求出和双曲线相切的直线的斜率，然后由二次项系数等于0求出和双曲线有一个交点的直线的斜率，从而判断出直线L的条数．
【解析】
因为点A（4，3）在双曲线-=1的右支上，且不是右顶点，
所以要使过A（4，3）的直线与双曲线-=1只有一个公共点，
则直线L的斜率存在且不等于0，设其斜率为k，
则L的方程为y-3=k（x-4），
联立，得（3-4k2）x2+（32k2-24k）x-64k2+96k-48=0．
当3-4k2≠0时，
由△=（32k2-24k）2-4（3-4k2）（-64k2+96k-48）
=1024k4-1536k3+576k2+768k2-1152k+576-1024k4+1536k3-768k2
=576k2-1152k+576=0，得k=1．
所以过点A（4，3）与双曲线-=1相切的直线一条；
当3-4k2=0，即k=时，过点A（4，3）与双曲线-=1相交于一点的直线有两条，它们是平行于双曲线渐近线的两条直线．
综上，直线L的条数是3．
故选C．