Question

设抛物线C：y²=4x，F为C的焦点，过F的直线L与C相交于A、B两点．
（1）设L的斜率为2，求|AB|的大小；
（2）求证：•是一个定值．

Answer

（1）由题意可得直线L的方程，与抛物线方程联立并消去y得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系、弦长公式即可得出；
（2）设直线L的方程为x=ky+1，与抛物线方程联立并消去x得到关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系、数量积运算即可得出．
【解析】
（1）依题意得F（1，0），∴直线L的方程为y=2（x-1），
设直线L与抛物线的交点A（x1，y1），B（x2，y2），
联立消去y整理得x2-3x+1=0，
∴x1+x2=3，x1x2=1．
法一：|AB|==•=．
法二：|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p=3+2=5．
（2）证明：设直线L的方程为x=ky+1，
设直线L与抛物线的交点A（x1，y1），B（x2，y2），
由消去x整理得y2-4ky-4=0．
∴y1+y2=4k，y1y2=-4，
∵═（x1，y1）•（x2，y2）
=x1x2+y1y2=（ky1+1）（ky2+1）+y1y2
=k2y1y2+k（y1+y2）+1+y1y2
=-4k2+4k2+1-4=-3．
∴是一个定值为-3．