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高中数学试题
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已知函数. (1)若f(x)是单调函数,求a的取值范围; (2)若f(x)有两个...
已知函数
.
(1)若f(x)是单调函数,求a的取值范围;
(2)若f(x)有两个极值点x
1
,x
2
,证明:f(x
1
)+f(x
2
)>3-2ln2.
(1)先由f(x),求出f′(x)=--2ax+1=-.再利用导数判断函数的单调性,由f(x)是单调函数,能求出a的取值范围. (2)由(1)知,当且仅当a∈(0,)时,f(x)有极小值点x1和极大值点x2,且x1+x2=,x1x2=.求得f(x1)+f(x2)=-ln(x1x2)+(x1+x2)+1=ln(2a)++1.令g(a)=ln(2a)++1,a∈(0,],由此能够证明f(x1)+f(x2)>3-2ln2. 【解析】 (Ⅰ)f(x)=-lnx-ax2+x, f′(x)=--2ax+1=-.…(2分) 令△=1-8a. 当a≥时,△≤0,f′(x)≤0,f(x)在(0,+∞)单调递减.…(4分) 当0<a<时,△>0,方程2ax2-x+1=0有两个不相等的正根x1,x2, 不妨设x1<x2, 则当x∈(0,x1)∪(x2,+∞)时,f′(x)<0, 当x∈(x1,x2)时,f′(x)>0, 这时f(x)不是单调函数. 综上,a的取值范围是[,+∞).…(6分) (Ⅱ)由(Ⅰ)知,当且仅当a∈(0,)时,f(x)有极小值点x1和极大值点x2, 且x1+x2=,x1x2=. f(x1)+f(x2)=-lnx1-a+x1-lnx2-a+x2 =-(lnx1+lnx2)-(x1-1)-(x2-1)+(x1+x2) =-ln(x1x2)+(x1+x2)+1=ln(2a)++1.…(9分) 令g(a)=ln(2a)++1,a∈(0,], 则当a∈(0,)时,g′(a)=-=<0,g(a)在(0,)单调递减, 所以g(a)>g()=3-2ln2,即f(x1)+f(x2)>3-2ln2.…(12分)
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考点分析:
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2
,P
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,P
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,P
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,P
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1
F|+|P
2
F|+|P
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F|+|P
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F|+|P
5
F|+|P
6
F|+|P
7
F|=
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试题属性
题型:解答题
难度:中等
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