Question

如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC=60°，PC⊥面ABCD，E，F是PA和AB的中点．
（Ⅰ）求证：EF∥平面PBC；
（Ⅱ）若PC=2，求PA与平面PBC所成角的正弦值．

Answer

（I）欲证EF∥平面PBC，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证EF与平面PBC内一直线平行，而EF∥PB，又EF⊄平面PBC，PB⊂平面PBC，满足定理所需条件；
（II）过A作AH⊥BC于H，连接PH，则∠APH为PA与平面PBC所成的角，利用sin∠APH=，可得结论．
（I）证明：∵E，F是PA和AB的中点，
∴AE=PE，AF=BF，
∴EF∥PB
又EF⊄平面PBC，PB⊂平面PBC，
故EF∥平面PBC；
（II）【解析】
过A作AH⊥BC于H，连接PH
∵PC⊥面ABCD，AH⊂面ABCD，
∴PC⊥AH
∵PC∩BC=C
∴AH⊥平面PBC
∴∠APH为PA与平面PBC所成的角
∵边长为2的菱形ABCD中，∠ABC=60°，
∴△ABC为正三角形
∵AH⊥BC
∴H为BC的中点，AH=
∵PC=AC=2，∴PA=
∴sin∠APH==
∴PA与平面PBC所成角的正弦值为．