Question

已知f（x）是三次函数，g（x）是一次函数，且f（x）-g（x）=-x³+2x²+3x+7，f（x）在x=1处有极值2，求f（x）的解析式和单调区间．

Answer

三次函数f（x）=x3+2x2+cx+d在x=1时取极值2，说明f′（1）=0及f（1）=2，求出c，d值，即可求出f（x）的解析式，在求出导数，分别令导数大于或小于0，解出不等式即可得到函数的单调区间．
【解析】
由于f（x）是三次函数，g（x）是一次函数，且f（x）-g（x）=-x3+2x2+3x+7，
则可设f（x）=-x3+2x2+cx+d，
故有 f′（x）=-3x2+4x+c，
由题意知f′（1）=0，则-3+4+c=0，∴c=-1  
 又f（1）=2，∴d=2
∴f（x）=-x3+2x2-x+2   
则 f′（x）=-3x2+4x-1，
由f′（x）＞0得到＜x＜1；
由f′（x）＜0得到x∈（-∞，）∪（1，+∞） 
∴函数f（x）的单调递增区间为（，1），单调递减区间为（-∞，）及（1，+∞）．