Question

已知函数．
（1）判断f（x）的奇偶性，并加以证明；
（2）判断f（x）的单调性，并加以证明；
（3）解不等式．

Answer

（1）根据函数的定义域为R，关于原点对称，且满足f（-x）=-f（x），可得函数为奇函数．
（2）利用函数的单调性的定义证明f（x）是（-∞，+∞）上的增函数．
（3））根据，，可得不等式即 f（x）＞f（3）．再由f（x）是（-∞，+∞）上的增函数，求得不等式的解集．
【解析】
（1）f（x）为奇函数．∵f（x）的定义域为R，对∀x∈R，
有，∴f（x）为奇函数．…（4分）
（2）f（x）是（-∞，+∞）上的增函数．∵对-∞＜x1＜x2＜+∞，，，
故 =，
∴f（x）是（-∞，+∞）上的增函数．…（8分）
（3）∵，又∵，即为f（x）＞f（3）．…（10分）
又f（x）是（-∞，+∞）上的增函数，
∴不等式的解集为{x|x＞3}．…（13分）