Question

已知数列{a_n}满足递推关系式a_n=2a_n-1+1，（n≥2）其中a₄=15
（1）求a₁，a₂，a₃
（2）求数列{a_n}的通项公式
（3）求数列{a_n}的前n项和S．

Answer

（1）利用数列的递推关系式，通过n=4，求出a3，类似求出a1，a2，
（2）通过递推关系式，推出数列{an+1}是以a1+1为首项，2为公比的等比数列，然后求数列{an}的通项公式．
（3）写出数列{an}的前n项和的表达式．利用拆项法，通过等比数列求和求解即可．
【解析】
（1）由an=2an-1+1，（n≥2）其中a4=15
，可知a4=2a3+1，解得a3=7，
同理可得，a2=3，a1=1．
（2）由an=2an-1+1，（n≥2）可知an+1=2an-1+2，（n≥2），
∴数列{an+1}是以a1+1为首项，2为公比的等比数列，
∴an+1=（a1+1）•2n-1=2n，
所以an=2n-1．
（3）∵an=2n-1．
∴Sn=a1+a2+a3+…+an
=（21-1）+（22-1）+…+（2n-1）
=（21+22+…+2n）-n
=
=2n+1-n-2．