Question

已知函数数列{a_n}满足a_n=f（n）（n∈N^*）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设x轴、直线x=a与函数y=f（x）的图象所围成的封闭图形的面积为S（a）（a≥0），求S（n）-S（n-1）（n∈N^*）；
（3）在集合M={N|N=2k，k∈Z，且1000≤k＜1500}中，是否存在正整数N，使得不等式a_n-1005＞S（n）-S（n-1）对一切n＞N恒成立？若存在，则这样的正整数N共有多少个？并求出满足条件的最小的正整数N；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）利用条件，可得f（n）-f（n-1）=n，利用叠加法可得结论；
（2）S（n）-S（n-1）为一直角梯形（n=1时为直角三角形）的面积，该梯形的两底边的长分别为f（n-1），f（n），高为1，可得结论；
（3）设满足条件的正整数N存在，可得N中的数成首项为2010，公差为2的等差数列，从而可得结论．
【解析】
（1）由题意，f（n）=n[n-（n-1）]+f（n-1），∴f（n）-f（n-1）=n
∴f（1）-f（0）=1，f（2）-f（1）=2，…，f（n）-f（n-1）=n，
叠加可得f（n）-f（0）=1+2+…+n=
∵f（0）=0
∴f（n）=
∴an=；
（2）S（n）-S（n-1）为一直角梯形（n=1时为直角三角形）的面积，该梯形的两底边的长分别为f（n-1），f（n），高为1
∴=…（8分）
（3）设满足条件的正整数N存在，则 
又M={2000，2002，…，2008，2010，2012，…，2998}
∴N=2010，2012，…，2998均满足条件，它们构成首项为2010，公差为2的等差数列．
设共有m个满足条件的正整数N，则2010+2（m-1）=2998，解得m=495
∴M中满足条件的正整数N存在，共有495个，Nmin=2010…（12分）