Question

某人上午7：00时，乘摩托车以匀速V千米/时（4≤V≤20）从A港出发到相距50千米的B港去，然后乘汽车以匀速W千米/时（30≤W≤100）自B港向距300千米的C市驶去，要求在当天16：00时至21：00时这段时间到达C市．设汽车所需要的时间为X小时，摩托车所需要的时间为Y小时．
（1）作图表示满足上述条件的X，Y的范围；
（2）如果已知所要的经费：p=100+3（5-x）+2（8-y）（元），那么V，W分别是多少时所要的经费最少？此时需花费多少元？

Answer

（1）依题意得：，，又4≤v≤20，30≤w≤100，解出x，y所满足的范围，作出符合条件的图形；
（2）先确定目标函数，由题设得3x+2y=131-p，令3x+2y=t，即为目标函数，由（1）中的图知，当直线3x+2y=t经过点（10，4）时，其在y轴上截距最大，此时p有最小值，求出其最小值，及此时的V，W的值
【解析】
（1）依题意得：，，又4≤v≤20，30≤w≤100，
所以，而9≤x+y≤14，
所以满足条件的点的范围是图中阴影部分：
（2）∵p=100+3×（5-x）+2×（8-y），∴3x+2y=131-p
作出一组平行直线3x+2y=t（t为参数），
由图可知，当直线3x+2y=t经过点（10，4）时，其在y轴上截距最大，
此时p有最小值，即当x=10，y=4时，p最小，此时v=12.5，w=30，pmin=93元