Question

已知f（x）=ax²+x-a，a∈R．
（1）若不等式f（x）＞（a-1）x²+（2a+1）x-3a-1对任意实数x∈[-1，1]恒成立，求实数a的取值范围；
（2）若a＜0，解不等式f（x）＞1．

Answer

（1）原不等式等价于x2-2ax+2a+1＞0对任意的实数x∈[-1，1]恒成立，设g（x）=x2-2ax+2a+1=（x-a）2-a2+2a+1，只需gmin（x）＞0即可．
（2）不等式f（x）＞1即为ax2+x-a-1＞0，即（x-1）（ax+a+1）＞0转化为二次不等式求解，注意分类讨论．
【解析】
（1）原不等式等价于x2-2ax+2a+1＞0对任意的实数x∈[-1，1]恒成立，
设g（x）=x2-2ax+2a+1=（x-a）2-a2+2a+1
①当a＜-1时，gmin（x）=g（-1）=1+2a+2a+1＞0，得a∈Φ；
②当-1≤a≤1时，，得；
③当a＞1时，gmin（x）=g（1）=1-2a+2a+1＞0，得a＞1；
综上
（3）不等式f（x）＞1即为ax2+x-a-1＞0，即（x-1）（ax+a+1）＞0
因为a＜0，所以，因为 
所以当时，，解集为{x|}；
当时，（x-1）2＜0，解集为ϕ；
当时，，解集为{x|}