Question

已知两定点E（-，0），F（，0），动点P满足•=0，由点P向x轴作垂线PQ，垂足为Q，点M满足=，点M的轨迹为C．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）若直线l交曲线C于A、B两点，且坐标原点O到直线l的距离为，求|AB|的最大值．

Answer

（Ⅰ）先确定P的轨迹方程，再根据M，P坐标之间的关系，即可求曲线C的方程；
（Ⅱ）分类讨论，设出直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理，弦长公式，结合距离，即可求得结论．
【解析】
（Ⅰ）设P（m，n），则
∵两定点E（-，0），F（，0），动点P满足•=0，
∴（--m，-n）•（-m，-n）=0，
∴m2+n2=2
设M（x，y），则
∵由点P向x轴作垂线PQ，垂足为Q，点M满足=，
∴P（x，y）
∴x2+2y2=2
∴曲线C的方程为；
（Ⅱ）①若直线l垂直于x轴，此时|AB|=． …（5分）
②若直线l不垂直于x轴，设直线l的方程为y=kx+m，
则原点O到直线l的距离为=，整理可得2m2=1+k2．…（6分）
由消去y可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2-2=0．
设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意可得△＞0，
则x1+x2=-，x1x2=．
∴|AB|=•=2•…（8分）
∵2m2=1+k2，
∴2 （1+k2）（1+2k2-m2）=（1+k2）（2+4k2-2m2）=（1+k2）（1+3k2）≤（1+2k2）2，
等号当且仅当1+k2=1+3k2，即k=0时成立．
即2•≤2．
所以k=0时，|AB|取得最大值2．…（12分）