三次函数f（x）=x3-3bx+3b在[1，2]内恒为正值，求b的取值范围．

三次函数f（x）=x³-3bx+3b在[1，2]内恒为正值，求b的取值范围．

由f（x）＞0在[1，2]内恒成立，即3b（x-1）＜x3．对x分类讨论：①当x=1时，上式对于b∈R都成立；②当1＜x≤2时，f（x）＞0在[1，2]内恒成立⇔恒成立⇔，x∈（1，2]，利用导数求出其最小值即可．【解析】由f（x）＞0在[1，2]内恒成立，即3b（x-1）＜x3． ①当x=1时，上式对于b∈R都成立； ②当1＜x≤2时，f（x）＞0在[1，2]内恒成立⇔恒成立，x∈（1，2]⇔，x∈（1，2]．令g（x）=，x∈（1，2]，则，由g′（x）=0，解得．列表如下：由表格可知：当x=时，g（x）取得极小值，也即最小值，=． ∴3b，解得．综上①②可知：b的取值范围是．

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考点分析：

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