Question

已知圆C的方程（x-2）²+（y-3）²=1，直线l₁过点A（3，0），且与圆C相切．
（1）求直线l₁的方程；
（2）若过点D（0，1），且斜率为k的直线l₂与圆C有两个不同的交点M、N．且 •=12，求k的值．

Answer

（1）设直线l1的方程为y=m（x-3），圆心C到直线l1的距离等于半径，利用点到直线的距离公式建立关于m的方程，解之可得方程为4x+3y-12=0．而直线斜率不存在时也与圆C相切，由此可得直线l1的方程；
（2）由题意得l2的方程为y=k（x-1），与圆C的方程消去y得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系加以计算，得到•=+8=12，解之即可得到k=1．
【解析】
（1）设直线l1的方程为y=m（x-3），即mx-y-3m．=0        …（1分）
圆心C到直线l1的距离d=，解得m=-，…（2分）
所以直线l1的方程为4x+3y-12=0；
当直线斜率不存在时，直线x=3也与圆C相切，
所以直线l1的方程为4x+3y-12=0或x=3．               …（5分）
（2）设l2的方程为y=k（x-1），
将直线l2的方程与圆C的方程消去y，得：（1+k2）x2-4（1+k）x+7=0，
设M（x1，y1）、N（x2，y2），则由根与系数的关系可得：
x1+x2=，x1x2=，
从而y1y2=（kx1+1）•（kx2+1）=k2x1x2+k（x1+x2）+1，
因此，•=x1x2+y1y2=（1+k2）x1x2+k（x1+x2）+1
=（1+k2）•+k•+1=+8，
∴•=+8=12，整理得k（1+k）=1+k2，解之得k=1．
经检验，可得此时△＞0，所以k=1符合题意．…（14分）