Question

设数列{a_n}的各项都是正数，且对任意n∈N^*，都有a₁³+a₂³+a₃³+…+a_n³=S_n²，记S_n为数列{a_n}的前n项和．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=3ⁿ+（-1）^n-1λ•2^a_n（λ为非零常数，n∈N^*），问是否存在整数λ，使得对任意 n∈N^*，都有b_n+1＞b_n．

Answer

（1）利用n=1求出a1，利用a13+a23+a33+…+an3=Sn2，a13+a23+a33+…+an-13=Sn-12，做差推出an-an-1=1证明是等差数列．
（2）假设存在λ使得满足题意，然后计算化简bn+1-bn，再结合恒成立问题进行转化，将问题转化为：对任意的n∈N*恒成立．然后分n为奇偶数讨论即可获得λ的范围，再结合为整数即可获得问题的解答．
【解析】
（1）在已知式中，当n=1时，a13=S12=a12
∵a1＞0∴a1=1…（2分）
当n≥2时，a13+a23+a33+…+an3=Sn2①a13+a23+a33+…+an-13=Sn-12②
①-②得，an3=Sn2-Sn-12=（Sn-Sn-1）（Sn+Sn-1）
∵an＞0∴an2=Sn+Sn-1=2Sn-an③
∵a1=1适合上式…（4分）
当n≥2时，an-12=2Sn-1-an-1④
③-④得：an2-an-12=2（Sn-Sn-1）-an+an-1=2an-an+an-1=an+an-1
∵an+an-1＞0∴an-an-1=1
∴数列{an}是等差数列，首项为1，公差为1，可得an=n…（6分）
（2）假设存在整数λ，使得对任意 n∈N*，都有bn+1＞bn．
∵an=n∴
∴bn+1-bn=[3n+1+（-1）nλ•2n+1]-[3n+（-1）n-1λ•2n]=2•3n-3λ（-1）n-1•2n＞0
∴⑤…（8分）
当n=2k-1（k∈N*）时，⑤式即为⑥
依题意，⑥式对k∈N*都成立，∴λ＜1…（10分）
当n=2k（k∈N*）时，⑤式即为⑦
依题意，⑦式对k∈N*都成立，
∴…（12分）
∴
∴存在整数λ=-1，使得对任意n∈N*，都有bn+1＞bn…（14分）