Question

已知点A（1，2），过点P（5，-2）的直线与抛物线y²=4x相交于B，C两点，则△ABC是（ ）
A．直角三角形
B．钝角三角形
C．锐角三角形
D．不能确定

Answer

先讨论直线BC斜率不存在时，求出B，C的坐标，求出AB、AC斜率，求出kAB•kAC=-1，得到三角形ABC是直角三角形，当BC斜率存在时设出其方程，联立BC的方程与抛物线的方程，利用韦达定理，表示出AB、AC斜率，求出kAB•kAC=-1，得到三角形ABC是直角三角形．
【解析】
当BC斜率不存在时，方程为x=5，
代入抛物线方程y2=4x得
B，C
所以AB斜率是，
AC斜率是
所以kAB•kAC=-1，
所以AB与AC垂直，
所以三角形ABC是直角三角形当BC斜率存在时，显然不能为0，否则与抛物线只有一个公共点，
所以设方程为x-5=a（y+2）（a是斜率的倒数），
代入抛物线方程化简得y2-4ay-8a-20=0 设B（x1，y1），C（x2，y2），
则y1+y2=4a，y1y2=-8a-20 x1+x2=（ay1+2a+5）+（ay2+2a+5）=a（y1+y2）+4a+10=4a2+4a+10 x1x2=（ay1+2a+5）（ay2+2a+5）=4a2+20a+25
因为（y1-2）（y2-2）=y1y2-2（y1+y2）+4=-16a-16 （x1-1）（x2-1）=x1x2-（x1+x2）+1=16a+16 所以AB和AC斜率乘积等于-1，
即AB垂直于AC．综上可知，三角形ABC是直角三角形
故选A．